結論｜新潟大学の理系数学で、複素数平面は最優先で仕上げる分野のひとつです
新潟大学の理系数学（前期）の過去問を3年分並べると、最後の大問（大問5）が、複素数平面か二次曲線のどちらかで3年連続という状態が見えてきます。令和5年度と令和7年度は複素数平面、令和6年度は二次曲線でした。つまり、大問5を解く必要のある学部の受験生にとって、複素数平面は「出るかもしれない」ではなく「出る前提で仕上げる」分野です。
この記事では、まず「自分が大問5を解く必要があるのか」を確認したうえで、複素数平面で何が問われるのか、頻出のテーマは何か、問題文の日本語をどう式に翻訳するのか、どんな順番で仕上げるのかまで、具体的にまとめます。
この記事とあわせて読みたい
まず確認｜自分は大問5を解くのか
新潟大学の理系数学は、学部・学科によって解く大問の番号と試験時間が違います。ここが最初の分かれ道です。過去3年の問題冊子には、次の指定が一字も変わらずに載っていました。
| 学部・学科 | 解く大問 | 試験時間 |
|---|---|---|
| 理学部（理数重点プログラム）・工学部 | 大問1〜5 | 120分 |
| 理学部（野外科学プログラム）・医学部保健学科 | 大問1〜4 | 90分 |
| 歯学部 | 大問2〜5 | 90分 |
| 医学部医学科 | 大問3〜6 | 90分 |
この表から分かることが2つあります。ひとつは、大問5を解くのは理学部（理数重点）・工学部・歯学部だということ。もうひとつは、大問3と大問4は理系の全受験生が共通で解くということです。優先順位をつけるなら、まず大問3・4の範囲、次に自分が解く残りの大問、という順番になります。
医学部医学科は大問3〜6なので大問5を含みます。つまり医学科の受験生にとっても複素数平面は対象範囲です。一方、理学部の野外科学プログラムと医学部保健学科は大問1〜4なので、大問5は解きません。
複素数平面で問われている力
複素数平面は、公式を覚えれば解ける分野ではありません。実際に問われているのは、次の3つの力です。
なぜ、そう簡単ではないのか：複素数平面の問題は、たいてい図形的な条件（回転・垂直・共線・円周上など）が、複素数の式として与えられます。式のまま処理しようとすると計算が膨らみ、図形として捉えようとすると式に戻せない。この往復ができるかどうかが、そのまま得点差になります。
身につけるために要ること：「図形の条件 → 複素数の式」「複素数の式 → 図形の意味」の対応を、暗記ではなく手を動かして往復する練習。1つの問題を、式でも図でも説明できる状態にすること。
なぜ、そう簡単ではないのか：回転・拡大縮小・n乗根など、複素数平面の主要テーマは極形式で扱うと一気に見通しがよくなります。ところが、直交形式（a+bi）のまま押し切ろうとして計算量に潰れる答案が非常に多い。どちらの形で扱うかの判断が、解答の長さを決めます。
身につけるために要ること：極形式への変換を、迷いなくできる状態にすること。偏角の扱い（範囲の取り方、加法との対応）を、典型問題で反復して身につける。
なぜ、そう簡単ではないのか：「〜を満たす点zの描く図形を求めよ」という設問は頻出です。ここでは、条件を式にし、それが直線なのか円なのかを判断し、さらに端点や除外点まで詰める必要があります。図形の形が分かっても、除外点を落とすと減点されます。
身につけるために要ること：条件式から図形を特定する手順を固定すること。そのうえで、除外点・端点の確認を答案の最後の工程として習慣化する。
この3つに共通するのは、計算力ではなく、翻訳の力だということです。複素数平面が苦手な人の多くは、計算ができないのではなく、問題文の日本語を式に直すところで止まっています。
頻出テーマ｜複素数平面で押さえる5つ
複素数平面の出題は、大きく次の5テーマに分かれます。どれも単独で出るというより、組み合わさって出ます。
| テーマ | 中心となる考え方 | つまずきやすい点 |
|---|---|---|
| 極形式と絶対値・偏角 | 複素数を r(cosθ+isinθ) の形で扱う | 偏角の範囲の取り方。2πの周期をどう処理するか |
| 回転と相似 | ある複素数を掛けることが、回転と拡大縮小に対応する | どの点を中心に回すか。中心が原点でないとき、平行移動を挟む処理を忘れる |
| ド・モアブルの定理とn乗根 | 偏角をn倍する／n等分する | n乗根が単位円周上に等間隔に並ぶ、という図形的イメージが持てない |
| 軌跡・領域 | 条件を満たす点zの集合を、直線・円などとして特定する | 除外点・端点の処理を落とす |
| 図形との融合（三角形・垂直・共線） | 複素数の比や差で、角度や位置関係を表す | 図形条件を複素数の式に翻訳する対応が身についていない |
特に出題の中心になりやすいのが回転と軌跡です。この2つは、図形問題としての難しさと、複素数計算としての処理量の両方が問われるため、大問として成立させやすいのだと考えられます。
また、令和6年度は大問5が二次曲線でした。複素数平面だけを仕上げて二次曲線を捨てると、その年の大問5をまるごと落とすことになります。大問5の対策としては、複素数平面と二次曲線をセットで考えておくのが安全です。
セットで押さえる｜大問5のもう一方、二次曲線
大問5の対策を考えるとき、複素数平面だけを見るのは危険です。令和6年度の大問5は二次曲線でした。同じ枠に、年によって別の分野が入るのですから、両方を仕上げておかないと、その年の大問5をまるごと落とすことになります。
二次曲線で押さえるべきは、放物線・楕円・双曲線の定義（焦点からの距離の関係）、標準形と平行移動、接線の扱い、そして媒介変数表示です。特に定義に戻って考えられるかが問われやすく、公式を暗記しているだけでは条件を式に直せません。「焦点からの距離の和が一定」という定義そのものが立式の出発点になる、という感覚を持っておいてください。
| 二次曲線で押さえる項目 | 中身 | つまずきやすい点 |
|---|---|---|
| 定義（焦点と準線） | 楕円＝2焦点からの距離の和が一定、双曲線＝差の絶対値が一定、放物線＝焦点と準線からの距離が等しい | 公式だけ覚えて、定義から立式する発想がない |
| 標準形と平行移動 | 中心・頂点が原点にない場合の式の形 | 平行移動した式を標準形に戻す作業でつまずく |
| 接線 | 接点を置いて微分するか、判別式=0を使うか | どちらの方針で行くかを決めずに計算を始める |
| 媒介変数表示 | 楕円を (a cosθ, b sinθ) などで表す | θの範囲の扱い、軌跡との接続 |
| 離心率 | 曲線の形を決める量として扱う | 定義との対応が曖昧なまま公式で処理する |
複素数平面と二次曲線には、「図形の条件を、式として書き下す」という共通の骨格があります。どちらも、図形として何が起きているかを掴んだうえで式に落とす作業です。だから片方をきちんと仕上げると、もう片方の理解も速くなります。両方まとめて、数IIIの図形分野として扱ってしまうのが効率的です。
問題文の日本語を、式に翻訳する対応表
複素数平面でいちばん効くのが、この翻訳です。問題文の表現と、最初に立てる式の対応を持っておくと、手が止まる時間が激減します。
| 問題文の表現 | 最初の一手 |
|---|---|
| 点zを、点αを中心にθだけ回転する | z − α を作り、cosθ+isinθ を掛けて、α を足し戻す |
| |z − α| = r | 中心α・半径rの円。図として先に描く |
| |z − α| = |z − β| | αとβを結ぶ線分の垂直二等分線 |
| 3点が同一直線上にある | 2つの差の比が実数。比を取って、実数条件に持ち込む |
| 2直線が垂直である | 2つの差の比が純虚数。比の実部が0という条件に直す |
| z^n = 1 を満たすz | 単位円周上を n 等分する点。極形式で偏角を 2πk/n と置く |
| |z| = 1 | z の共役は 1/z が使える。式の簡略化に直結する |
| 三角形が正三角形である | 一方の頂点を中心に、他方を60度回転すると残りの頂点に一致する |
この表は、そのまま覚えるより、自分で作り足していくほうが定着します。問題を解くたびに「この日本語が来たら、この式」という行を1つ増やす。20行くらい溜まると、初見の問題でも最初の一手が出るようになります。
実際にどう解き進めるのか｜典型的な出題の形で
複素数平面の代表的な出題の形を、手順として見ておきます。ここで扱うのは実際の入試問題そのものではなく、よくある形を一般化した典型例です。手の運び方の骨格をつかんでください。
2つの例に共通しているのは、いきなり計算に入らず、まず形を作ってから計算するという運びです。複素数平面で答案が膨らむ人は、方針を決める前に展開を始めていることがほとんどです。
答案の書き方｜方針を1行書くだけで、部分点が変わる
新潟大学の数学は記述式です。したがって、最終的な答えが合っているかどうかだけでなく、どういう方針で進めたのかが読み手に伝わるかが得点に影響します。複素数平面は計算が膨らみやすい分野なので、この差が特に出ます。
| 書くべきこと | 理由 |
|---|---|
| 最初に方針を1行 | 「αを原点に移して回転する」など。計算を誤っても方針の部分は残る |
| 置いた文字の定義 | z = x + yi と置いたのか、極形式で置いたのかを明示する |
| 変形の根拠 | 「|w|^2 = w×(wの共役)より」など、使った関係を書く |
| 場合分けの宣言 | k = 1 のときと k ≠ 1 のときで分ける、と先に宣言する |
| 除外点・端点の確認 | 最後に一行で明記する。書いていないと確認したと見なされない |
特に場合分けの宣言は、複素数平面の軌跡問題で効きます。先に「ここで場合分けが必要」と書いておくと、以降の記述が整理され、読み手にも伝わります。場合分けの考え方は 数学 場合分けの対策 にまとめています。
複素数平面の仕上げ方｜4段階のSTEP
複素数平面は、順番を守って進めると比較的短期間で仕上がる分野です。逆に、いきなり入試問題に手を出すと計算量に潰れて苦手意識だけが残ります。
| 段階 | やること | 目安 | ここで手を抜くとどうなるか |
|---|---|---|---|
| STEP1 基本演算 | 複素数の四則、共役、絶対値、極形式への変換を、詰まらずにできるようにする | 1〜2週間 | 以降の全テーマで計算が止まる。回転や軌跡以前の問題になる |
| STEP2 回転・ド・モアブル | 回転の式を、中心が原点でない場合も含めて自在に立てられるようにする | 2週間 | 回転の中心を移す処理を落とし、典型問題を丸ごと失点する |
| STEP3 軌跡・領域 | 条件式から図形を特定する手順を固定し、除外点まで詰める | 2〜3週間 | 図形の形は分かっても、除外点の減点が毎回発生する |
| STEP4 図形との融合・過去問 | 三角形や垂直条件との融合問題、実際の大問形式に取り組む | 入試までに継続 | 本番の大問の分量に対応できず、時間内に書き切れない |
STEP1を軽視する人が多いのですが、複素数平面でつまずく原因の多くは、STEP1の計算の重さにあります。極形式への変換に毎回時間がかかる状態で回転の問題に進んでも、計算に意識を取られて方針が立ちません。まずここを軽くしてください。
使う教材は、学校で配られている問題集で十分です。新しい参考書を買うより、手持ちの教材の複素数平面の章を、STEP1から順に全部やるほうが早く仕上がります。参考書の選び方は 新潟大学 参考書ルート と 数学の参考書ルート にまとめています。
時期別ロードマップ
| 時期 | 複素数平面でやること |
|---|---|
| 高2の冬〜高3の春 | 数IIIの学習と並行して、STEP1の基本演算を仕上げる。ここが終わっていると後が速い |
| 高3の初夏 | STEP2（回転・ド・モアブル）。典型問題を型として持つ |
| 高3の夏 | STEP3（軌跡・領域）。除外点の確認を答案の工程として固定する |
| 高3の秋 | STEP4。図形との融合問題、過去問の大問5に着手。時間を計って書き切る練習 |
| 直前期 | 解いた問題の解き直し。新しい問題は増やさず、書き切れる状態を維持する |
学校のカリキュラムによっては、数IIIの複素数平面を扱う時期が遅くなることがあります。その場合、学校の進度を待つと入試に間に合わないことがあるので、自分で先に進める判断が必要になります。理系数学の全体像は 理系数学の傾向と対策 にまとめています。
どのくらい演習すれば形になるのか
「何問やればいいですか」という質問をよく受けます。分野としての複素数平面は範囲が狭いので、問題数よりも、出題の型をどこまでカバーできたかで考えるほうが正確です。目安を挙げます。
| 段階 | 問題数の目安 | 到達の判断基準 |
|---|---|---|
| 基本演算 | 30〜40問 | 極形式への変換、共役・絶対値の処理が、考え込まずに手が動く |
| 回転・ド・モアブル | 20〜30問 | 中心が原点でない回転を、平行移動を含めて自力で立式できる |
| 軌跡・領域 | 20〜30問 | 条件式から図形を特定し、除外点まで書き切れる |
| 融合・過去問形式 | 10〜15問 | 大問1つを、時間内に最後まで書き切れる |
合計しても80〜115問程度です。1日3問なら1ヶ月半ほどで一巡できます。ただし、一巡しただけでは定着しません。×だった問題を日を空けて解き直し、白紙から書き切れる状態まで持っていく工程が必要です。復習の設計は 成績が上がる復習のやり方 にまとめています。
到達の判断は、問題数ではなく上の表の右列でしてください。40問やったから終わり、ではなく、極形式への変換で手が止まらなくなったら次へという進め方です。前の段階が軽くなっていない状態で次に進むと、必ずどこかで詰まります。
よくある失敗5つ
| 失敗 | 何が起きているか | 直し方 |
|---|---|---|
| 回転の中心を原点だと思い込む | 中心が原点でないときの平行移動を飛ばす | 「z − α を作る」を最初の動作として固定する |
| 直交形式のまま押し切る | 計算量が爆発して、時間内に終わらない | 回転・n乗根が絡んだら極形式に変換すると決めておく |
| 軌跡で除外点を書かない | 図形の形だけで満足してしまう | 答案の最後に「除外点の確認」を工程として入れる |
| 偏角の範囲を明示しない | 2πの周期のせいで答えが一意に定まらない | 偏角を置いたら、その範囲を必ず一行で書く |
| 二次曲線を捨てる | 大問5が二次曲線の年に、まるごと失点する | 複素数平面と二次曲線をセットで仕上げる |
この5つのうち、1つ目と3つ目は知識ではなく動作の問題です。知っていてもやらないから落とす。だからこそ、答案を書くときの手順として固定してしまうのが最も確実な対策になります。
そして、複素数平面の学習でいちばん厄介なのは、自分の答案が減点されるかどうかを、自分では判断しにくい点です。答えが合っていても、除外点の記述や偏角の範囲が抜けていれば削られます。手順を固定し、書いたものを確認していく作業を積み重ねていくことが、そのまま得点に変わっていきます。
よくある質問
Q. 新潟大学の理系数学で、複素数平面は必ず出ますか?
A. 過去3年では、大問5が複素数平面（令和5・令和7）か二次曲線（令和6）でした。必ず出るとは言い切れませんが、大問5を解く学部の受験生は、複素数平面と二次曲線をセットで仕上げておくのが安全です。最新の出題範囲は募集要項で確認してください。
Q. 自分は大問5を解く必要がありますか?
A. 過去3年の問題冊子では、理学部（理数重点）・工学部が大問1〜5、歯学部が大問2〜5、医学部医学科が大問3〜6でした。理学部（野外科学）と医学部保健学科は大問1〜4です。年度により変わる可能性があるので、必ず募集要項で確認してください。
Q. 複素数平面はどのくらい時間をかけて仕上げればいいですか?
A. 基本演算に1〜2週間、回転・ド・モアブルに2週間、軌跡・領域に2〜3週間が目安です。基本演算が軽くなっていないと後の段階で計算に潰れるので、STEP1を飛ばさないでください。
Q. 直交形式と極形式、どちらで解けばいいですか?
A. 回転・n乗根・偏角が絡む問題は極形式が有利です。直交形式のまま押し切ると計算量が膨らみ、時間内に終わらないことが多くなります。問題を読んだ段階で、どちらで扱うかを決める習慣をつけてください。
Q. 軌跡の問題で、いつも減点されます
A. 除外点・端点の確認が抜けている可能性が高いです。図形の形が正しくても、条件から外れる点を明記していないと削られます。答案の最後に「除外点の確認」を工程として固定してください。
Q. 複素数平面の対策に、専用の参考書は必要ですか?
A. 多くの場合は不要です。学校で配られている問題集の複素数平面の章を、基本演算から順に全部やるほうが早く仕上がります。新しい教材を増やすより、手持ちの教材の完成度を上げてください。
新潟大学に合格するには
ここまで読んでいるということは、本気で新潟大学に合格したいということだと思います。合格するために不可欠な要素は、次の5つです。
新潟大学の入試には独自の傾向があります。新潟大学に特化した計画を立てることで、合格への最短距離を進むことができます。多くの受験生や高校生は、自分オリジナルの計画で余計なことをしてしまったり、逆に必要なのにそれを飛ばしたりと、合格まで遠回りする計画を立ててしまいがちです。正しい計画を立てることが、一番の合格への近道です。
計画を毎日しっかり実行することが大切です。どれだけ素晴らしい100点の計画を立てても、実行しなければ意味はありません。とはいえ、1人だと9割以上の人がどこかでサボってしまうのが現実です。だからこそ、誰かに管理してもらう環境が欠かせません。逆に、正しい計画をサボらずにやりきれば、ほとんどの人が合格できます。
成績が上がるのは「分からなかった問題が分かるようになった時」だけです。もともと分かる問題を1,000回、1万回、10万回解いても点数は変わりません。まず必要なのは、分かるところと分からないところをはっきりさせること。それを明確にするのが毎週の確認テストです。2ヶ月や3ヶ月に1回では遅すぎます。1週間に1回、勉強した範囲が本当に身についているかをテストすることが大事なのです。
一度決めた計画がその通りに進むことはありません。先週の勉強量が少なかったのか、多すぎたのかを毎週振り返り、翌週の計画を一緒に決めていきます。1ヶ月に1回の面談では、その1ヶ月がダメだった場合、まるごと無駄になってしまいます。1週間に1回にすることで、計画が崩れてもリスクを最小限に抑えられます。
新潟大学に合格したことがない人が指導しても説得力がありません。実際に合格した先輩の指導だからこそ、アドバイスに説得力があります。また、志望する大学の先輩だからこそ、モチベーションも上がります。結局、受験勉強は辛いもの。継続するためのモチベーションを、毎週この新潟大学の講師と話すことで高めていきます。
独学・集団授業・個別指導では、なぜ難しいのか
この5つ、どれか1つでも欠けると合格は一気に遠のきます。しかし現実には、独学・集団授業・個別指導のいずれも、5つすべてを揃えるのは難しいのです。
| 合格に必要な要素 | 独学 | 集団授業 | 個別指導 | 新潟大学専門塾 |
|---|---|---|---|---|
| 新潟大学に特化した計画 | ✕ | ✕ | △ | ◎ |
| 毎日の学習管理 | ✕ | ✕ | ✕ | ◎ |
| 毎週の確認テスト | △ | △ | △ | ◎ |
| 毎週の面談 | ✕ | ✕ | △ | ◎ |
| 新潟大合格者の講師 | ✕ | △ | △ | ◎ |
独学は計画も管理も自分次第。集団授業は全員に同じ内容を進めるため、あなた専用の計画にはなりません。個別指導は授業の時間は見てもらえますが、「授業以外の毎日」まで管理してくれる塾はほとんどない——ここが最大の落とし穴です。受験の勝敗は、授業の時間より授業以外の膨大な時間で決まります。
だから、本気で新潟大学合格に近づけます。
まずは無料学習相談で、あなたの現在地と合格までの道筋を確認してみてください。しつこい勧誘は一切ありません。
新潟大学専門塾について詳しく見る
コメント