新潟大学の数学 証明問題の対策

• 証明って何を書けばいいの?
• 「示せ」と言われると固まる
• 前の小問が解けないと詰む

• 証明の答案に必要な4つの要素
• 実際の証明問題を、答案を書いて見せます（3問）
• 「〜にならないことを示せ」の手順
• 日本語を数式に翻訳する対応表
• 誘導型で前問が解けないときの対処

そして重要なのは、証明は「答えが合っているか」では点が決まらないということ。計算問題とはまったく別のルールで採点されます。

• 証明の答案に必要な「4つの要素」
• 実際に出た証明問題を、答案を書いて見せます（3問）
• 「〜にならないことを示せ」（否定の証明）の手順
• 日本語の条件を数式に翻訳する対応表
• 誘導型で前問が解けないときの対処
• いつから何をやって力をつけるか

2次方程式 x²−x−1=0 の2つの解を α, β とする。このとき αⁿ⁺² − αⁿ⁺¹ = αⁿ が成り立つことを示せ。

1. やること自体は簡単です。αは方程式の解なので α²−α−1=0。両辺に αⁿ を掛ければ終わり。しかし、書き方で点が変わります。
2. 【減点される答案】
   「α²−α−1=0 より、両辺に αⁿ を掛けて αⁿ⁺²−αⁿ⁺¹−αⁿ=0。よって成り立つ。」
   → なぜ α²−α−1=0 と言えるのかが書かれていません。これが②の抜けです。
3. 【点が来る答案】
   αⁿ⁺² − αⁿ⁺¹ = αⁿ が成り立つことを示す。
   αは 2次方程式 x²−x−1=0 の解であるから、 α² − α − 1 = 0 が成り立つ。
   この両辺に αⁿ（≠0）を掛けると
   αⁿ⁺² − αⁿ⁺¹ − αⁿ = 0
   よって αⁿ⁺² − αⁿ⁺¹ = αⁿ が成り立つ。（証明終）
4. 違いは太字の一行だけです。「αは解であるから」——この5文字が、論理の飛躍を防ぎます。証明は、答えではなく「書き方」で点が決まる。

8s ≦ 9t であるとき、2つのベクトル CD と EF は垂直にならないことを示せ。

1. 「垂直にならない」を直接示そうとすると、何を書けばいいか分からず固まります。手順は決まっています。
2. 【STEP1】「〜である」を数式に翻訳する
   「垂直である」＝内積が0である。だから「垂直にならない」＝内積 ≠ 0 を示せばよい。
3. 【STEP2】その数式を実際に計算する
   内積を s と t の式で表します。ここは普通の計算です。
4. 【STEP3】条件下で0にならないことを示す
   8s ≦ 9t のもとで、内積が常に正（または常に負）であることを示せば、0にならないと言えます。
5. 否定の証明は、否定される内容を数式にした瞬間に「符号の議論」に変わります。
   「垂直にならない」のままでは手が動かないが、「内積≠0」なら計算できる——この翻訳ができるかどうかがすべてです。

曲線 C と接線 ℓ は、接点以外に共有点を持たないことを示せ。

1. これも否定の証明です。定石は「差の関数」を作ること。
2. 【STEP1】翻訳：「共有点を持たない」＝方程式 f(x) − (接線の式) = 0 が、接点以外に解を持たない。
3. 【STEP2】差の関数を定義：g(x) = f(x) − (接線の式) とおく。
4. 【STEP3】g(x) の増減を調べる：g'(x) を計算し、増減表を書く。g(x) = 0 となるのが接点だけであることを示す。
5. 「グラフを描いたら明らかに交わらない」は証明になりません。増減表または式変形で示す必要があります。グラフは補助であって、根拠ではありません。

手が止まるのは、翻訳ができていないから。この表を頭に入れておくだけで、書き出しで固まることが激減します。

ここで最ももったいないのが、前問が解けないから大問ごと諦めることです。

正しい対応は、前問の結果を「認めて」次に進むこと。答案に「(2)の結果を用いると」と書いて(3)を解けば、(3)の点数は普通に来ます。

(2)が白紙でも(3)で満点を取ることは可能です。これを知っているかどうかで、同じ実力でも得点が変わります。

理由は単純です。計算問題は答え合わせで自己採点できますが、証明はできません。

模範解答と一字一句同じにはなりません。「だいたい同じことを書いた気がする」——この気がするの中身が、根拠の明示漏れや論理の飛躍であることに、本人は気づけない。だから何度解いても、同じ減点を繰り返します。

• 書いた証明の添削で、自分では見えない論理の飛躍を潰す
• 毎週の確認テストで、型が身についたかを測る
• 毎日の学習管理で、演習の継続を支える
• 新潟大学に合格した講師に質問できる環境で、「この答案で点が来る?」に答える

参考書は本屋で買えます。でも、上のような「続ける仕組み」と「見てくれる目」は、本屋には置いていません。そこだけを、僕たちが引き受けます。

この記事は証明問題に特化した内容です。数学全体の傾向と対策は 👉 理系数学の傾向と対策／文系数学の傾向と対策 をご覧ください。

全科目の参考書ルートは 👉 【新潟大学】参考書ルートを科目別に全公開 にまとめています。

新潟大学の入試には独自の傾向があります。新潟大学に特化した計画を立てることで、合格への最短距離を進むことができます。多くの受験生や高校生は、自分オリジナルの計画で余計なことをしてしまったり、逆に必要なのにそれを飛ばしたりと、合格まで遠回りする計画を立ててしまいがちです。正しい計画を立てることが、一番の合格への近道です。

計画を毎日しっかり実行することが大切です。どれだけ素晴らしい100点の計画を立てても、実行しなければ意味はありません。とはいえ、1人だと9割以上の人がどこかでサボってしまうのが現実です。だからこそ、誰かに管理してもらう環境が欠かせません。逆に、正しい計画をサボらずにやりきれば、ほとんどの人が合格できます。

成績が上がるのは「分からなかった問題が分かるようになった時」だけです。もともと分かる問題を1,000回、1万回、10万回解いても点数は変わりません。まず必要なのは、分かるところと分からないところをはっきりさせること。それを明確にするのが毎週の確認テストです。2ヶ月や3ヶ月に1回では遅すぎます。1週間に1回、勉強した範囲が本当に身についているかをテストすることが大事なのです。

一度決めた計画がその通りに進むことはありません。先週の勉強量が少なかったのか、多すぎたのかを毎週振り返り、翌週の計画を一緒に決めていきます。1ヶ月に1回の面談では、その1ヶ月がダメだった場合、まるごと無駄になってしまいます。1週間に1回にすることで、計画が崩れてもリスクを最小限に抑えられます。

新潟大学に合格したことがない人が指導しても説得力がありません。実際に合格した先輩の指導だからこそ、アドバイスに説得力があります。また、志望する大学の先輩だからこそ、モチベーションも上がります。結局、受験勉強は辛いもの。継続するためのモチベーションを、毎週この新潟大学の講師と話すことで高めていきます。