新潟大学 数学 整数問題の対策｜4つの型で解く手順

• 整数問題になると急に手が止まる
• ひらめきがないと解けない気がする
• 解けても証明で減点される
• 何から練習すればいいか分からない

• 整数問題を解く4つの型と“最初の一手”
• 余り・積の形・範囲・不定方程式の解き方（例題つき）
• 問題文を“やること”に翻訳する対応表
• よくある失敗と、得点源にする練習手順

n を整数とするとき、n² を 3 で割った余りは 0 か 1 のいずれかであることを示せ。

1. 整数 n を 3 で割った余りで分類する。n=3k、n=3k+1、n=3k+2（k は整数）の3通り。
2. n=3k のとき n²=9k²=3・(3k²) → 余りは 0。
3. n=3k+1 のとき n²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 → 余りは 1。
4. n=3k+2 のとき n²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1 → 余りは 1。
5. 以上より、n² を 3 で割った余りは 0 か 1 のいずれか。（証明終）
6. ポイント：2乗すると余りの種類は一気に減る。「余りで分ける」は整数問題で最初に試す一手。

1/x + 1/y = 1/3 を満たす正の整数の組 (x, y) をすべて求めよ。

1. 両辺に 3xy をかける：3y + 3x = xy。
2. 移項して xy − 3x − 3y = 0。ここで“積の形”を作るため両辺に 9 を足す：xy − 3x − 3y + 9 = 9。
3. 左辺を因数分解：(x−3)(y−3) = 9。
4. x, y は正の整数。もし x−3, y−3 がともに負だと積の最大は (−1)(−1)=1<9 で 9 にならない → ともに正。
5. 9 になる正の整数の積：(x−3, y−3) = (1,9), (3,3), (9,1)。
6. よって (x, y) = (4,12), (6,6), (12,4)。
7. ポイント：分数方程式は「通分 → 整数の方程式 → 定数を足して積の形」。足す数は、展開したとき定数項が合うように逆算する。

x+y+z = xyz を満たす正の整数 x, y, z (x≤y≤z) をすべて求めよ。

1. x≤y≤z だから、右辺 xyz と左辺の関係を評価する。x+y+z ≤ 3z より xyz ≤ 3z。
2. 両辺を z（正）で割ると xy ≤ 3。候補が一気に絞れた。
3. xy≤3 かつ x≤y の正整数：(x,y) = (1,1), (1,2), (1,3) の3通り。
4. (1,1)：1+1+z=z → 2+z=z となり不成立。
5. (1,2)：1+2+z=2z → 3=z → z=3。x≤y≤z（1≤2≤3）を満たす → (1,2,3)。
6. (1,3)：1+3+z=3z → 4=2z → z=2。だが z≥y=3 に反するので不適。
7. よって (x,y,z) = (1,2,3)（および並べ替え）。
8. ポイント：対称な式は「大小を固定 → 不等式で上限を作る → 候補を総当たり」。範囲を作れれば、あとは有限個の確認作業になる。

7x + 5y = 1 の整数解をすべて求めよ。

1. 解を1組見つける：x=3, y=−4 とすると 21−20=1 ✓（見つからないときはユークリッドの互除法で作れる）。
2. 7・3 + 5・(−4) = 1 と 7x+5y=1 を辺々引く：7(x−3) + 5(y+4) = 0。
3. 移項：7(x−3) = −5(y+4)。7 と 5 は互いに素なので、x−3 は 5 の倍数。
4. x−3 = 5k（k は整数）とおくと x = 5k+3。これを戻して y+4 = −7k → y = −7k−4。
5. 答：x = 5k+3, y = −7k−4（k は整数）。
6. ポイント：「1組見つける → 差をとる → 互いに素で割り切れる方を倍数と見る」。互除法で1組を必ず作れるので、ひらめき不要。

整数問題を“見た瞬間に方針が立つ”状態にする手順

1. ①型を4つ暗記する。まず上の4つの型と“最初の一手”を、何も見ずに言えるようにする。
2. ②型ごとに5問ずつ解く。1つの型に絞って連続で解くと、「この形はこれ」という反応ができてくる。
3. ③解けた問題も“型の名前”を言う。「これは範囲で絞る型」と口に出す。方針の言語化が初見対応力になる。
4. ④混ぜて解く。型を混ぜた問題集で、方針選びの練習をする。ここで初めて“ひらめき”に見える速さが出る。
5. ⑤止まったら、どの型を試したかを書き出す。手が止まる場所こそ伸びしろ。試した型を記録すると、抜けている型が分かる。

連続する3つの整数の積は、6の倍数であることを示せ。

1. 連続する3整数を n, n+1, n+2 とおく。
2. 6 = 2×3 で、2 と 3 は互いに素。だから「2の倍数」かつ「3の倍数」であることを別々に示せばよい。
3. 連続する2つの整数には必ず偶数が1つある → n, n+1, n+2 の積は 2 の倍数。
4. 連続する3つの整数には必ず3の倍数が1つある → 積は 3 の倍数。
5. 2の倍数かつ3の倍数だから、積は 6 の倍数。（証明終）
6. ポイント：倍数の証明は「その数を素因数に分け、因数ごとに倍数であることを示す」。6なら2と3に分ける、というのが定石。

√2 が無理数であることを示せ。

1. 背理法を使う。√2 が有理数だと仮定し、√2 = a/b（a, b は互いに素な正の整数）と表せるとする。
2. 両辺を2乗：2 = a²/b² → a² = 2b²。よって a² は偶数。
3. a² が偶数なら a も偶数（奇数の2乗は奇数だから。ここが型1の考え方）。a = 2c とおく。
4. 代入：(2c)² = 2b² → 4c² = 2b² → b² = 2c² → b² は偶数 → b も偶数。
5. a も b も偶数となり、「a, b は互いに素」という仮定に矛盾する。
6. よって仮定が誤り。√2 は無理数である。（証明終）
7. ポイント：「互いに素と仮定 → 両方が偶数になって矛盾」が無理数証明の黄金パターン。偶奇の議論（型1）が効いている。

• 今のあなたのレベルに合わせて、やさしい典型 → 入試レベルへと順番に整数問題を組んで渡します
• 「解けたつもり」を防ぐため、解いた過程（どの型を試したか）まで毎回チェック。抜けている一手を一緒に見つけます
• わからないことは、いつでもすぐ質問できる環境。週1回の授業を待たずに、手が止まったその場で疑問を解決できます
• 毎日の学習を記録して、サボりようがない仕組みで反復を続けられるようにします

参考書は本屋で買えます。でも、上のような「続ける仕組み」と「見てくれる目」は、本屋には置いていません。そこだけを、僕たちが引き受けます。

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新潟大学の入試には独自の傾向があります。新潟大学に特化した計画を立てることで、合格への最短距離を進むことができます。多くの受験生や高校生は、自分オリジナルの計画で余計なことをしてしまったり、逆に必要なのにそれを飛ばしたりと、合格まで遠回りする計画を立ててしまいがちです。正しい計画を立てることが、一番の合格への近道です。

計画を毎日しっかり実行することが大切です。どれだけ素晴らしい100点の計画を立てても、実行しなければ意味はありません。とはいえ、1人だと9割以上の人がどこかでサボってしまうのが現実です。だからこそ、誰かに管理してもらう環境が欠かせません。逆に、正しい計画をサボらずにやりきれば、ほとんどの人が合格できます。

成績が上がるのは「分からなかった問題が分かるようになった時」だけです。もともと分かる問題を1,000回、1万回、10万回解いても点数は変わりません。まず必要なのは、分かるところと分からないところをはっきりさせること。それを明確にするのが毎週の確認テストです。2ヶ月や3ヶ月に1回では遅すぎます。1週間に1回、勉強した範囲が本当に身についているかをテストすることが大事なのです。

一度決めた計画がその通りに進むことはありません。先週の勉強量が少なかったのか、多すぎたのかを毎週振り返り、翌週の計画を一緒に決めていきます。1ヶ月に1回の面談では、その1ヶ月がダメだった場合、まるごと無駄になってしまいます。1週間に1回にすることで、計画が崩れてもリスクを最小限に抑えられます。

新潟大学に合格したことがない人が指導しても説得力がありません。実際に合格した先輩の指導だからこそ、アドバイスに説得力があります。また、志望する大学の先輩だからこそ、モチベーションも上がります。結局、受験勉強は辛いもの。継続するためのモチベーションを、毎週この新潟大学の講師と話すことで高めていきます。