新潟大学 文系数学 微分積分（大問4）対策

• 文系数学の大問4はどんな問題が出るの?
• 積分の面積か微分の最小値か、どう見分ければいいの?
• 場合分けって何をどう分ければいいの?

• 大問4の答案に必要な3つの力
• 実際に出た大問4を、答案を書いて見せます（3年分）
• 「積分の面積」か「微分の最小値」か「場合分け」かの見分け方
• 大問4でよくある失敗5つ

面積を求めたあとに最小値、積分の結果を比較して証明、微分したあとに場合分け——計算の後にもう1段階の思考が、毎年問われています。

• 大問4の答案に必要な「3つの力」
• 実際に出た大問4を、答案を書いて見せます（3年分）
• 「積分の面積」か「微分の最小値」か「場合分け」かの見分け方
• 大問4でよくある失敗5つ
• いつから何をやって力をつけるか

放物線 y=−x²+9 と直線 y=a(x+3) で囲まれる面積を S、さらに x=3 という直線も加えて囲まれる面積を T とする。S+T を a で表し、その最小値を求めよ。（6分の1公式が問題文にあわせて与えられている）

1. 放物線と直線の交点を求めると、x=−3 と x=3−a の2点です。x=−3が常に交点になっていることに気づけるかどうかが最初の分かれ目です。
2. S は x=−3 から x=3−a までの面積。問題文で与えられた6分の1公式を使うと、
   S = (6−a)³ / 6　（0<a<6の範囲）
3. T は x=3−a から x=3 までの面積。今度は交点同士の間ではないので、6分の1公式はそのままは使えません。係数を展開して直接積分する必要があります。
   T = 3a² − a³/6
4. S+T をまとめると、
   S+T = −a³/3 + 6a² − 18a + 36
5. これを a で微分して増減を調べると、a=6−3√2 のときに最小になります。
   最小値：S+T = 36(2−√2)　（a = 6−3√2 のとき）
6. 6分の1公式が使える区間と、使えない区間を見分ける——これがこの問題の本当の壁です。公式を覚えているだけでは、Tの部分で手が止まります。

S={∫₀ᵃ(2x+b)dx}²、T=∫₀ᵃ(2x+b)²dx とする。(T−S)/a の最大値を求めよ。また、0<a≦1 のとき S<T が成り立つことを証明せよ。

1. SとTを実際に計算すると、
   S = a⁴+2a³b+a²b²　　T = (4/3)a³+2a²b+ab²
2. (T−S)/a を計算してbについて整理すると、平方完成できる形になります。
   (T−S)/a = (1−a)(b+a)² + a²/3
3. この1本の式に、両方の設問の答えが入っています。(1−a)の符号がすべてを決めるからです。
4. a>1 のとき、(1−a)は負。(b+a)²にマイナスがかかるので、b=−aのときに最大となります。
   最大値：(T−S)/a = a²/3　（b=−a のとき、a>1の場合）
5. 0<a≦1 のとき、(1−a)は0以上。だから (1−a)(b+a)² も a²/3 も、どちらも0以上です。bの値にかかわらず和は必ず正になります。
   0<a≦1 のとき　(T−S)/a = (1−a)(b+a)² + a²/3 > 0　よって S<T（証明終）
6. 最大値を求める設問と証明の設問が、同じ1本の式から生まれている。式を平方完成できるかどうかで、この大問全体の出来が決まります。

f(x)=x³/3−3x²+(9−p²)x（p≧0）とする。p=1のときのグラフをかけ。f'(x)=0となるxをpで表せ。また、x≧0における f(x) の最小値をとる x の値を求めよ。

1. まずf'(x)を求めて因数分解します。
   f'(x) = x²−6x+(9−p²) = (x−3+p)(x−3−p)　よって x=3−p, 3+p
2. ここまでは多くの受験生ができます。差がつくのは、この先の場合分けです。3−pがx≧0の範囲に入るかどうかで、極大点の位置が変わってしまうからです。
3. p=1のグラフでは3−p=2、3+p=4がどちらも正なので、x=0から増加→減少→増加という形になります。しかしpが大きくなると3−pが0以下になり、形が変わります。
4. x=0での値とx=3+pでの値を実際に比較すると、
   f(3+p)−f(0) = −(p+3)²(2p−3)/3
5. この式の符号を調べると、境界は p=3/2 だと分かります。
   0≦p≦3/2のとき　最小値をとるxは x=0（このとき最小値は0）
   p≧3/2のとき　最小値をとるxは x=3+p
6. 場合分けの境界は「なんとなく」では見つからない。x=0とx=3+pの値を実際に比較して初めて、p=3/2という境界が出てきます。比較する発想がなければ、場合分けの基準そのものに気づけません。

数値だけの計算問題なら、答えの数値で自己採点できます。しかし大問4は、場合分けの境界や証明の途中式まで採点対象です。答えの数値が合っていても、場合分けが1つ抜けていたり、符号の根拠を書いていなかったりすれば、その分は失点します。

そしてその抜けは、模範解答を見比べるだけでは気づきにくいものです。自分の答案の、どこが根拠として弱いのか——それを客観的に指摘してもらう機会がないまま、同じ抜けを繰り返してしまう受験生は少なくありません。

• 書いた答案・場合分けの添削で、自分では見えない抜けを潰す
• 毎週の確認テストで、微積分の計算力が身についたかを測る
• 毎日の学習管理で、演習の継続を支える
• 新潟大学に合格した講師に質問できる環境で、「この場合分けで合ってる?」に答える

参考書は本屋で買えます。でも、上のような「続ける仕組み」と「見てくれる目」は、本屋には置いていません。そこだけを、僕たちが引き受けます。

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新潟大学の入試には独自の傾向があります。新潟大学に特化した計画を立てることで、合格への最短距離を進むことができます。多くの受験生や高校生は、自分オリジナルの計画で余計なことをしてしまったり、逆に必要なのにそれを飛ばしたりと、合格まで遠回りする計画を立ててしまいがちです。正しい計画を立てることが、一番の合格への近道です。

計画を毎日しっかり実行することが大切です。どれだけ素晴らしい100点の計画を立てても、実行しなければ意味はありません。とはいえ、1人だと9割以上の人がどこかでサボってしまうのが現実です。だからこそ、誰かに管理してもらう環境が欠かせません。逆に、正しい計画をサボらずにやりきれば、ほとんどの人が合格できます。

成績が上がるのは「分からなかった問題が分かるようになった時」だけです。もともと分かる問題を1,000回、1万回、10万回解いても点数は変わりません。まず必要なのは、分かるところと分からないところをはっきりさせること。それを明確にするのが毎週の確認テストです。2ヶ月や3ヶ月に1回では遅すぎます。1週間に1回、勉強した範囲が本当に身についているかをテストすることが大事なのです。

一度決めた計画がその通りに進むことはありません。先週の勉強量が少なかったのか、多すぎたのかを毎週振り返り、翌週の計画を一緒に決めていきます。1ヶ月に1回の面談では、その1ヶ月がダメだった場合、まるごと無駄になってしまいます。1週間に1回にすることで、計画が崩れてもリスクを最小限に抑えられます。

新潟大学に合格したことがない人が指導しても説得力がありません。実際に合格した先輩の指導だからこそ、アドバイスに説得力があります。また、志望する大学の先輩だからこそ、モチベーションも上がります。結局、受験勉強は辛いもの。継続するためのモチベーションを、毎週この新潟大学の講師と話すことで高めていきます。